Question

7．设函数f（x）=kx²-kx，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}lnx，x≥1\\-{x^3}+（{a+1}）{x^2}-ax，0＜x＜1\end{array}$，若使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，则实数a的值为2．

Answer 1

分析 根据题意：g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），所以二次函数图象过（1，0），即k=1，可得函数f（x）=x²-x，当0＜x＜1时，要使f（x）对一切正实数x恒成立，即x²-x≥-x³+（a+1）x²-ax．利用二次函数的性质求解即可．

解答 解：由题意：函数f（x）=kx²-kx，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}lnx，x≥1\\-{x^3}+（{a+1}）{x^2}-ax，0＜x＜1\end{array}$，
当g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，即kx²-kx-lnx≥0，令m（x）=kx²-kx-lnx≥0
则m′（x）=2kx-k-$\frac{1}{x}$≥0．
实数k存在且唯一，当x=1时，解得k=1．
即k=1．可得函数f（x）=x²-x．
当0＜x＜1时，要使f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立，即x²-x≥-x³+（a+1）x²-ax．
令h（x）=x²-ax+a-1≥0，
∵对一切正实数x恒成立且唯一，
∴△=a²-4（a-1）=0，
解得：a=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了分段函数的值域来求解恒成立问题．