Question

3．给出下列命题：
①命题“若方程ax²+x+1=0有两个实数根，则a≤$\frac{1}{4}$”的逆命题是真命题；
②“函数f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；
③函数f（x）=2^x-x²的零点个数为2；
④幂函数y=x^a（a∈R）的图象恒过定点（0，0）
⑤“向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充分必要条件是“$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＜0”；
⑥方程sinx=x有三个实根．
其中正确命题的序号为②．

Answer 1

分析 ①根据逆命题的定义结合方程根的关系进行判断．
②根据三角函数的周期公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
③根据函数与方程的关系进行判断．
④根据幂函数的定义和性质进行判断．
⑤根据向量夹角和数量积的关系进行判断．
⑥构造函数，判断函数的单调性即可．

解答 解：①命题“若方程ax²+x+1=0有两个实数根，则a≤$\frac{1}{4}$”的逆命题是若a≤$\frac{1}{4}$，则方程ax²+x+1=0有两个实数根，
当a=0时，方程等价为x+1=0，则x=-1，此时方程只有一个根，故①错误；
②f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax，
若“函数f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”，
则$\frac{2π}{2|a|}=π$，则|a|=1，则a=±1，
则充分性不成立，反之成立，
即“函数f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件正确，故②正确，
③由f（x）=2^x-x²=0得2^x=x²，
作出两个函数y=2^x和y=x²的图象如图，由图象知两个函数交点个数为3个，故③错误；
④幂函数y=x^a（a∈R）的图象恒过定点（0，0），错误，
当a＜0时，函数的图象不过点（0，0），故④错误，
⑤“向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充分必要条件是“$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＜0”且$\overrightarrow a$≠λ$\overrightarrow b$，λ＜0；故⑤错误，
⑥设f（x）=sinx-x，
则函数的导数f′（x）=cosx-1≤0，
则函数f（x）是奇函数，
∵f（0）=sin0-0=0，
∴f（x）=0的根只有一个0，解集方程sinx=x有一个实根．
故⑥错误，
故正确的是②，
故答案为：②

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，充分条件和必要条件的判断，涉及知识点较多，综合性较强，有一定 的难度．