Question

△ABC内接于以O为圆心的圆，且3

OA

+4

OB

-5

OC

=

0

．则∠C=

135

°，cosA=

3 10

10

．

Answer 1

分析：将所给的等式中的5

OC

移到等式的一边，将等式平方求出

OA

•

OB

=0，可求出∠AOB，即

OA

与

OB

的夹角，再通过圆心角与圆周角的关系，求得∠C，而∠A是∠BOC的一半，可用半角公式进行计算．

解答：解：∵3

OA

+4

OB

-5

OC

=

0

∴3

OA

+4

OB

=5

OC

∴9

OA

2+24

OA

•

OB

+16

OB

2=25

OC

2
∵A，B，C在圆上
设OA=OB=OC=1
∴

OA

•

OB

=0
根据 3

OA

+4

OB

=-5

OC

得出A，B，C三点在圆心的同一侧
∴根据圆周角定理知∠C=180°-

1

2

×90°=135°
同理求出

OB

•

BC

=

4

5

，
cos∠BOC=

4 5

1×1

=

4

5

∵∠A是∠BOC的一半
∴cosA=

3 10

10

故答案为：135°；

3 10

10

点评：本题考查向量的运算和三角形外心的性质和应用，本题解题的关键是对于所给的向量式的整理，注意向量运算法则的灵活运用．