Question

7．如图①所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，且AD=$\frac{1}{3}$BC=a，∠BAD=135°，AE⊥BC于点E，F为BE的中点．将△ABE沿着AE折起至△AB′E的位置，得到如图②所示的四棱锥B′-ADCE．
（1）求证：AF∥B′CD平面；
（2）若平面AB′E⊥平面AECD，三棱锥A-B′ED的体积为$\frac{9}{16}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）取B′C的中点G，连接FG，DG，由F为B′E的中点，可得FG∥EC，且$FG=\frac{1}{2}EC$，进一步得到AD=$\frac{1}{2}EC$，从而可得四边形ADGF为平行四边形，则AF∥DG，
再由线面平行的判定可得AF∥平面B′CD；
（2）由平面AB′E⊥平面AECD，可得B′E⊥平面ADE，然后利用等积法可得三棱锥A-B′ED的体积，进一步得到a的值．

解答 （1）证明：取B′C的中点G，连接FG，DG，
∵F为B′E的中点，∴FG∥EC，且$FG=\frac{1}{2}EC$，
∵图①中四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，
且$AD=\frac{1}{3}BC=a$，∠BAD=135°，
∴EC=2a，AD∥EC，AD=$\frac{1}{2}EC$，
∴AD∥FG，AD=FG，
∴四边形ADGF为平行四边形，∴AF∥DG，
∵AF?平面B′CD，DG?平面B′CD，
∴AF∥平面B′CD；
（2）解：由平面AB′E⊥平面AECD，可得B′E⊥平面ADE，
∵${S}_{△AED}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，B′E=a，
∴${V}_{A-B′ED}={V}_{B′-AED}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×a=\frac{1}{6}{a}^{3}=\frac{9}{16}$，
∴$a=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了等积法求多面体的体积，是中档题．