Question

7．已知函数f（x）=ln（3x+2）-$\frac{3}{2}$x²
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a-lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；
（Ⅱ）问题转化为a＞lnx-ln$\frac{3}{2+3x}$或a＜lnx+ln$\frac{3}{2+3x}$恒成立①，设h（x）=lnx-ln$\frac{3}{2+3x}$=ln$\frac{2x+{3x}^{2}}{3}$，g（x）=lnx+ln$\frac{3}{2+3x}$=ln$\frac{3x}{2+3x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域是（-$\frac{2}{3}$，+∞），
f′（x）=$\frac{-3（x+1）（3x-1）}{3x+2}$，
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{3}$，
∴f（x）在（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，+∞）递减，
∴f（x）_极大值=f（$\frac{1}{3}$）=ln3-$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，不等式|a-lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，
?a＞lnx-ln$\frac{3}{2+3x}$或a＜lnx+ln$\frac{3}{2+3x}$恒成立①，
设h（x）=lnx-ln$\frac{3}{2+3x}$=ln$\frac{2x+{3x}^{2}}{3}$，
g（x）=lnx+ln$\frac{3}{2+3x}$=ln$\frac{3x}{2+3x}$，
由题意得：a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[1，2]恒成立，
?a＞h（x）_max或a＜g（x）_min，
∵h′（x）=$\frac{2+6x}{2x+3x}$＞0，g′（x）=$\frac{2}{x（2+3x）}$＞0，
∴h（x），g（x）在[1，2]递增，要使不等式①恒成立，
当且仅当a＞h（2）或a＜g（1），
即a＜ln$\frac{3}{5}$或a＞ln$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．