Question

13．把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}ax+by=2\\ 2x+y=3\end{array}\right.$．
（Ⅰ）求方程组只有一个解的概率；
（Ⅱ）若方程组每个解对应平面直角坐标系中点P（x，y），求点P落在第四象限的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用列举法求出基本事件空间Ω，设方程组只有一个解为事件A，则事件A的对立事件是方程组无解，由此利用对立事件概率计算公式能求出方程组只有一个解的概率．
（Ⅱ）设点P落在第四象限为事件B，利用列举法求出符合条件的数组的个数，由此能求出点P落在第四象限的概率．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，
则基本事件空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），
（5，2），（5，3），（5，4）（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），
（6，5），（6，6）}共有36种，（2分）
设方程组只有一个解为事件A，则事件A的对立事件是方程组无解，
若方程组无解，则两线平行，$\frac{a}{2}=\frac{b}{1}≠\frac{2}{3}$，即a=2b，此时有3个满足，（2，1），（4，2），（6，3），（4分）
所以，方程组只有一个解的概率$P（A）=1-\frac{3}{36}=\frac{11}{12}$．（6分）
（Ⅱ）设点P落在第四象限为事件B，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}ax+by=2\\ 2x+y=3\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3b-2}{2b-a}\\ y=\frac{4-3a}{2b-a}\end{array}\right.$，（7分）
若点P落在第四象限，则有$\left\{\begin{array}{l}\frac{3b-2}{2b-a}＞0\\ \frac{4-3a}{2b-a}＜0\end{array}\right.$，（8分）
当2b-a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}3b-2＞0⇒b＞\frac{2}{3}\\ 4-3a＜0⇒a＞\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ a=2，3\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ a=2，3，4，5\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}b=4\\ a=2，3，4，5，6\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}b=5\\ a=2，3，4，5，6\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}b=6\\ a=2，3，4，5，6\end{array}\right.$
所以符合条件的数组B={（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），
（5，6）（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}共21组．（10分）
当2b-a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}3b-2＜0⇒b＜\frac{2}{3}\\ 4-3a＞0⇒a＜\frac{4}{3}\end{array}\right.$，不存在符合条件的数组．
所以，点P落在第四象限的概率$P（B）=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法和对立事件概率计算公式的合理运用．