题目内容
已知f(x)=| x |
| ag(x)-f(x) |
| f(x) |
（1）当a=4时，求F（x）的最小值
（2）当1≤x≤4时，不等式F（x）＞1恒成立，求a的取值范围．
分析：（1）把a=4代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式利用基本功不等式求出F（x）的最小值即可；
（2）可设t=
，h(t)=a(t+
)，F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函数y=x+
的单调性求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．
（2）可设t=
| x |
| a |
| t |
| a |
| x |
解答：解：（1）当a=4时，F(x)═
=4(
+
)-1≥4•2
-1=15∴当
=
，即x=4时，F（x）min=15（4分）
（2）F(x)=
=
=a(
+
)-1，x∈[1，4]（6分）
设t=
，则F(x)=a(t+
)-1，t∈[1，2]，令h(t)=a(t+
)∵F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函数y=x+
的单调性知
或
或
或
或
，解得a＞1（12分）
4x+16-
| ||
|
| x |
| 4 | ||
|
| 4 |
| x |
| 4 | ||
|
（2）F(x)=
| ag(x)-f(x) |
| f(x) |
a(x+a)-
| ||
|
| x |
| a | ||
|
设t=
| x |
| a |
| t |
| a |
| t |
| a |
| x |
|
|
|
|
|
|
点评：考查学生基本不等式在最值问题中的应用、利用整体代换的数学思想解决数学问题的能力，以及不等式恒成立的证明方法．
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上的值域为
，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
x∈R,f（x）＞g（x）”为真命题的充要条件是（ ）
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