Question

19．已知圆$C：{（x+\sqrt{3}）^2}+{y^2}=16，点A（\sqrt{3}，0）$，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E．
（I）求轨迹E的方程；
（II）过点A作圆x²+y²=1的切线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根据椭圆的定义，确定轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，再写出椭圆的方程；
（Ⅱ）设切线l的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），代入椭圆方程，由l与圆x²+y²=1相切，得$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即2k²=1，由此，即可求|BD|的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2$\sqrt{3}$，
∴轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆…（2分）
∴轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1…（4分）
（Ⅱ）设切线l的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），代入椭圆方程，消元得（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0．（8分）
设B，D两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
又由l与圆x²+y²=1相切，得$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即2k²=1，
∴x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
所以|BD|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{\frac{16}{3}-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{66}}{3}$．（12分）

点评 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．