题目内容
已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间及最值．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间及最值．
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）=2+
sin（2x+
），由周期公式可得；
（2）由振幅的意义易得最值，分别由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
和2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
可得函数f（x）的单调递增、递减区间．
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）由振幅的意义易得最值，分别由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
解答：
解：（1）化简可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=
+sin2x+3•
=2+sin2x+cos2x=2+
sin（2x+
）
∴函数f（x）的最小正周期T=
=π；
（2）由（1）知f（x）=2+
sin（2x+
）
∴函数的最大值为2+
，最小值为2-
，
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
可得kπ-
≤x≤kπ+
，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）；
同理由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）；
=
| 1-cos2x |
| 2 |
| 1+cos2x |
| 2 |
=2+sin2x+cos2x=2+
| 2 |
| π |
| 4 |
∴函数f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
（2）由（1）知f（x）=2+
| 2 |
| π |
| 4 |
∴函数的最大值为2+
| 2 |
| 2 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
同理由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属中档题．
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| ||||
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| ||||
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| ||||
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|
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