Question

1．已知$f（x）=sinωx+\sqrt{3}cosωx（{ω＞0，x∈R}）$，若函数f（x）在区间（0，4π）内恰有5个零点，则ω的取值范围是$\frac{7}{6}＜ω≤\frac{17}{12}$．

Answer 1

分析 令f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）=0，可解得：x=$\frac{（3k-1）π}{3ω}$，k∈Z，由于ω＞0，则非负根中较小的有：$\frac{2π}{3ω}$，$\frac{5π}{3ω}$，$\frac{8π}{3ω}$，$\frac{11π}{3ω}$，$\frac{14π}{3ω}$，$\frac{17π}{3ω}$，由题意可求$\frac{14π}{3ω}$＜4π，且$\frac{17π}{3ω}$≥4π，即可解得ω的取值范围．

解答 解：∵f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∴令f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）=0，可得：ωx+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴解得：x=$\frac{（3k-1）π}{3ω}$，k∈Z，
∴由于ω＞0，则非负根中较小的有：$\frac{2π}{3ω}$，$\frac{5π}{3ω}$，$\frac{8π}{3ω}$，$\frac{11π}{3ω}$，$\frac{14π}{3ω}$，$\frac{17π}{3ω}$，
∵函数f（x）在区间（0，4π）内恰有5个零点，
∴$\frac{14π}{3ω}$＜4π，且$\frac{17π}{3ω}$≥4π，
∴解得：$\frac{7}{6}＜ω≤\frac{17}{12}$．
故答案为：$\frac{7}{6}＜ω≤\frac{17}{12}$．

点评 本题考查函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的图象及性质，考查了函数的零点与方程的根的关系应用，同时考查了三角函数的求值应用，体现了数形结合的思想．属于中档题．