Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(0，

2

)，且长轴长与短轴长的比是

2

：1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）待定系数法求椭圆的方程．
（2）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．
（3）设出AB直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，
使用基本不等式求最大值．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
由题意

a2=b2+c2 a：b= 2 ：1 c= 2 .

，解得a²=4，b²=2．
所以，椭圆C的方程为

y2

4

+

x2

2

=1．故点P（1，

2

）
（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，
则PB的直线方程为y-

2

=k(x-1)．
由

y- 2 =k(x-1) y2 4 + x2 2 =1.

 得，(2+k2)x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0．
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则xB=1•xB=

k2-2 2 k-2

2+k2

，同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

．
则xA-xB=

4 2 k

2+k2

，yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=

8k

2+k2

．
所以直线AB的斜率kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2

为定值．
（Ⅲ）设AB的直线方程为y=

2

x+m，由

y= 2 x+m y2 4 + x2 2 =1.

得 4x2+2

2

mx+m2-4=0．
由△=(2

2

m)2-16(m2-4)＞0，得m²＜8．此时xA+xB=-

2 m

2

，xA•xB=

m2-4

4

．
由椭圆的方程可得点P（1，

2

），根据点到直线的距离公式可得P到AB的距离为d=

|m|

3

，
由两点间的距离公式可得  |AB|=

(xA-xB)2+(yA-yB)2

=

- 3 2 m2+12

，
故 S△PAB=

1

2

|AB| •d=

1

2

- 3 2 m2+12

•

|m|

3

=

1

2

- m4 2 +4m2

 
=

1

2

1 2 m2(-m2+8)

≤

1

2

1 2

×

m2+(8-m2)

2

=

2

．
因为m²=4使判别式大于零，所以当且仅当m=±2时取等号，所以△PAB面积的最大值为

2

．

点评：直线与圆锥曲线的综合问题，注意应用一元二次方程根与系数的关系，式子的化简变形，是解题的难点和关键．