Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，则{a_n}的通项公式${a}_{n}=（-2）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由数列递推式求出数列首项，进一步得到数列{a_n}是以1为首项，以-2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，得${a}_{1}={S}_{1}=\frac{2}{3}{a}_{1}+\frac{1}{3}$，解得a₁=1；
当n≥2时，由S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，得S_n-1=$\frac{2}{3}$a_n-1+$\frac{1}{3}$，
两式作差可得${a}_{n}=\frac{2}{3}{a}_{n}-\frac{2}{3}{a}_{n-1}$，
即a_n=-2a_n-1 （n≥2），
∴数列{a_n}是以1为首项，以-2为公比的等比数列，
则${a}_{n}=1×（-2）^{n-1}=（-2）^{n-1}$．
故答案为：${a}_{n}=（-2）^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．