Question

17．已知等腰△ABC满足AB=AC，$\sqrt{3}$BC=2AB，点D为BC边上一点且AD=BD，则sin∠ADB的值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 设AB=AC=a、AD=BD=b，在△ABC中由余弦定理求出cos∠ABC、sin∠ABC，在△ABD中由余弦定理表示出AD，由正弦定理求出sin∠ADB的值．

解答 解：如图设AB=AC=a，AD=BD=b，由$\sqrt{3}$BC=2AB得，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$．
在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC=$\frac{{AB}^{2}{+BC}^{2}{-AC}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{{a}^{2}{+（\frac{2\sqrt{3}}{3}a）}^{2}{-a}^{2}}{2a•\frac{2\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=AC，∴∠ABC是锐角，则sin∠ABC=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠ABC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
在△ABD中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cos∠ABD，
∴b²=a²+b²-2ab•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得 a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，
由正弦定理得，$\frac{AD}{sin∠ABD}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，∴$\frac{b}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{a}{sin∠ADB}$，
解得sin∠ADB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．