Question

1．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=$\frac{4}{3}$．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

Answer 1

分析 （1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；
（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．

解答 解：（1）如图，

过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，
∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴tan∠ABF=tan∠BCO=$\frac{4}{3}$．
设AF=4x（m），则BF=3x（m）．
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），
∴BE=（3x+60）m．
∵tan∠BCO=$\frac{4}{3}$，
∴CE=$\frac{3}{4}$BE=（$\frac{9}{4}$x+45）（m）．
∴OC=（4x+$\frac{9}{4}$x+45（m）．
∴4x+$\frac{9}{4}$x+45=170，
解得：x=20．
∴BE=120m，CE=90m，
则BC=150m；
（2）如图，

设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，
∵∠POM=∠PQC=90°，
∴∠PMO=∠BCO．
设OM=xm，则OP=$\frac{4}{3}$xm，PM=$\frac{5}{3}$xm．
∴PC=（$\frac{4}{3}$x+170）m，PQ=（$\frac{16}{15}$x+136）m．
设⊙M半径为R，
∴R=MQ=（$\frac{16}{15}$x+136-$\frac{5}{3}$x）m=（136-$\frac{3}{5}$x）m．
∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，
则R-AM≥80，R-OM≥80，
∴136-$\frac{3}{5}$-（60-x）≥80，136-$\frac{3}{5}$-x≥80．
解得：10≤x≤35．
∴当且仅当x=10时R取到最大值．
∴OM=10m时，保护区面积最大．

点评 本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．