Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的点，且$\frac{BE}{EC}$=λ．
（Ⅰ）求证：平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得二面角P-DE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$？若存在，求出实数λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中点N，连结MN，AN，推导出四边形ADMN为平行四边形，由AP⊥AD，AB⊥AD，得AD⊥AN，AN⊥MN，由此能证明平面ADM⊥平面PBC．
（Ⅱ）λ=1时，点E为BC边的中点，∠PDA为二面角P-DE-B的一个平面角，由此推导出二面角P-DE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 证明：（Ⅰ）取PB中点N，连结MN，AN，
∵M是PC中点，∴MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}BC=2$，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形ADMN为平行四边形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，
∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）存在实数λ=1，使得二面角P-DE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵λ=1，∴点E为BC边的中点，
∴DE∥AB，∴DE⊥平面PAD，
∴∠PDA为二面角P-DE-B的一个平面角，
在等腰Rt△PDA中，∠PDA=$\frac{π}{4}$，
∴二面角P-DE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．