Question

12．过C：y²=8x抛物线上一点P（2，4）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于A、B两点，则直线AB的斜率是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． -$\frac{2}{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 设出直线PA、PB的方程与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值．

解答 证明：点P坐标为（2，4），设B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
由已知设PB：m（y-4）=x-2，即：x=my-4m+2，
代入抛物线的方程得：y²=8my-32m+16，即y²-8my+32m-16=0，
则y₁+4=8m，故y₁=8m-4，
设PA：-m（y-4）=x-2，即x=-my+4m+2，
代入抛物线的方程得：y²=-8my+32m+16，即y²+8my-32m-16=0，
则：y₂+4=-8m，故y₂=-8m-4，
x₁-x₂=my₁-4m+2-（-my₂+4m+2）=m（y₁+y₂）-8m=-16m，
直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{16m}{-16m}$=-1，
所以直线BC的斜率为定值-1．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是抛物线的性质，直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．