Question

20．已知函数f（x）=|sinx|（x∈[-π，π]），g（x）为[-4，4]上的奇函数，且$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-2x（0＜x≤2）}\\{4x-12（2＜x≤4）}\end{array}}\right.$，设方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的实根的个数分别为m、n、t，则m+n+t=（　　）

• A． 9
• B． 13
• C． 17
• D． 21

Answer 1

分析 根据x∈[-π，π]时函数f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，
由函数g（x）的图象与性质得出其值域为[-4，4]，
由方程f（x）=0的根得出方程f（f（x））=0根的个数m；
求出方程f（g（x））=0的实根个数n；
由方程g（x）=0的实根情况得出方程g（g（x））=0的实根个数t；
从而求出m+n+t的值．

解答 解：因x∈[-π，π]，所以函数f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，
函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，0＜x≤2}\\{4x-12，2＜x≤4}\end{array}\right.$的图象如图示，
由图象知，其值域为[-4，4]，
注意到方程f（x）=0的根为0，-π，π，
所以方程f（f（x））=0的根为方程f（x）=0或f（x）=-π，f（x）=π的根，
显然方程f（x）=0有3个实根，
因-π，π∉[0，1]，所以f（x）=-π，与f（x）=π均无实根；
所以方程f（f（x））=0的实根的个数为3，即m=3；
方程f（g（x））=0的实根为方程g（x）=0或g（x）=-π，g（x）=π的根，
方程g（x）=-π，g（x）=π各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，
从而方程f（g（x））=0根的个数为9，即n=9；
方程g（x）=0有三个实根-3、0、3，
方程g（g（x））=0的实根为方程g（x）=-3或g（x）=0或g（x）=3的根，
方程g（x）=-3或g（x）=3各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，
从而方程g（g（x））=0根的个数为9，即t=9；
综上，m+n+t=3+9+9=21．
故选：D．

点评 本题考查了函数与方程的应用问题，也考查了分类讨论与数形结合的应用问题，是综合性题目．