Question

5．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加一次抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球则为中奖．
（Ⅰ）求获得中奖的概率；
（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设“中奖”分别为事件A，直接利用古典概型的概率公式求解即可；
（Ⅱ）由于摸球次数为ξ，按题意则ξ=1，2，3，4，利用随机变变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“中奖”分别为事件A      …（1分）
则P（A）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{4}^{4}}$=$\frac{3}{128}$．   （列式正确，计算错误，扣1分） …（5分）
（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3．     …（6分）
P（ξ=1）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{64}$，P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{27}{64}$．（各1分）
故取球次数ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$

…（11分）
Eξ=$\frac{1}{4}$×1+$\frac{3}{16}×2$$+\frac{9}{64}×3$$+\frac{27}{64}×4$=2.75．              …（12分）

点评 此题考查了学生的理解及计算能力，考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，还考查了离散型随机变量的定义及分布列，随机变量的期望．