Question

10．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₃+1是a₂与a₄的等差中项且a_n+2=a_n+1+2a_n，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{{{{（{a_n}+1）}^2}}}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}是各项均为正数，公比为q的等比数列，运用等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；
（II）求得${b_n}=\frac{{a_n^2+2{a_n}+1}}{a_n}={a_n}+\frac{1}{a_n}+2={2^{n-1}}+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+2$，再由数列的求和方法：分组求和，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}是各项均为正数，公比为q的等比数列，
令n=1，得a₃=a₂+2a₁，
所以有q²-q-2=0，解得q=2，
又a₃+1是a₂与a₄的等差中项，
可得2（a₃+1）=a₂+a₄，
得2（4a₁+1）=2a₁+8a₁，解得a₁=1，
所以${a_n}={2^{n-1}}$；                                      
（II）${b_n}=\frac{{a_n^2+2{a_n}+1}}{a_n}={a_n}+\frac{1}{a_n}+2={2^{n-1}}+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+2$，
所以${T_n}=（1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}）+（1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）+2n$
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$+2n           
=${2^n}-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+2n{+}1$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的性质，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．