Question

11．已知?x∈（0，+∞），[（m-1）x-1]（2^x-2）≥0恒成立，则m的值为2．

Answer 1

分析 对m≤1和m＞1分类，若m≤1，由x＞0，可得（m-1）x-1＜0，可知[（m-1）x-1]（x²-mx-1）≥0不恒成立，因此m＞1，由（m-1）x-1=0，解得x的值，而方程2^x-2=0的解是1，得到$\frac{1}{m-1}$=1，解出即可．

解答 解：若m≤1，∵x＞0，∴（m-1）x-1＜0，
又y=2^x-2递增，x→+∞时，y→+∞，
∴[（m-1）x-1]（2^x-2）≥0不恒成立，
因此m＞1，
由（m-1）x-1=0，解得x=$\frac{1}{m-1}$＞0，
而方程2^x-2=0，解得：x=1，
要使?x∈（0，+∞），[（m-1）x-1]（x²-mx-1）≥0恒成立，
∴x=$\frac{1}{m-1}$必定是方程2^x-2=0的根，
故$\frac{1}{m-1}$=1，解得：m=2，
故答案为：2．

点评 本题考查恒成立问题，关键是掌握等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，将条件转化为方程（m-1）x-1=0与2^x-2=0在（0，+∞）上有相同零点是解决本题的关键，综合性强，难度较大．