Question

3．已知A、B是过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足AB=3FB，S_△OAB=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$AB，则AB的值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，由AB=3FB，丨AC丨=2丨BD丨，求得丨BE丨，根据三角形的面积公式，求得p的值，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的弦长公式，即可求得丨AB丨．

解答 解：不妨设直线AB的斜率k＞0，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，
过B作BE⊥AC于E，由AB=3FB，
∴$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，丨$\overrightarrow{AF}$丨=2丨$\overrightarrow{FB}$丨，即丨AC丨=2丨BD丨，
∴E为AC的中点，即丨AE丨=$\frac{1}{3}$丨AB丨，
∴丨BE丨=$\sqrt{丨AB{丨}^{2}-丨AE{丨}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$丨AB丨，
由S_△OAB=S_OAB+S_OAB=$\frac{1}{2}$丨BE丨•丨OF丨=$\frac{\sqrt{2}}{6}$p丨AB丨，S_△OAB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$丨AB丨，
∴$\frac{\sqrt{2}}{3}$丨AB丨=$\frac{\sqrt{2}}{6}$p丨AB丨，即p=2，
由丨AE丨=$\frac{1}{3}$丨AB丨，则直线AB斜率为k_AB=±2$\sqrt{2}$，直线AB的方程y=2$\sqrt{2}$（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：2x²-5x-2=0，
则x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，则丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题．