Question

（1）已知z的共轭复数是

.

z

，且z•

.

z

-3i•z=

10

1-3i

，求z．
（2）已知z是虚数，求证：z+

1

z

为实数的充要条件是|z|=1．

Answer 1

分析：（1）可设z=a+bi，则

.

z

=a-bi，（a，b∈R）代入z•

.

z

-3i•z=

10

1-3i

，利用复数相等的条件求出a，b的值，即可求出z；
（2）可设z=a+bi，，（a，b∈R）根据充要条件证明的格式，充分性由|z|=1证z+

1

z

是实数，必要性由z+

1

z

是实数证|z|=1

解答：解：（1）设z=a+bi，（a，b∈R），则

.

z

=a-bi，代入z•

.

z

-3i•z=

10

1-3i

，得a²+b²-3ai+3b=1+3i
故有

a2+b2+3b=1 a=-1

得

a=-1 b=0或-3

，
综上知z=-1，或z=-1-3i
（2）设z=a+bi，，（a，b∈R），
充分性：由|z|=1得z•

.

z

=1，即

.

z

=

1

z

，故z+

1

z

=2a，是实数
必要性：由z+

1

z

为实数，即a+bi+

1

a+bi

=a+

a

a2+b2

+（b-

b

a2+b2

）i是实数，
即b-

b

a2+b2

=0，可得a²+b²=1，故有|z|=1
综上证明知，z+

1

z

为实数的充要条件是|z|=1

点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件的证明方法，复数的代数形式的乘除运算，复数是一个重要的工具，因为向量的引入，其在高考中的地位下降，只是作为一个运算工具出现在高考试卷了，一般是一个选择题