Question

7．如图，四棱锥A-BCDE中，AB、BC、BE两两垂直且AB=BC=BE，DE∥BC，DE=2BC，F是AE的中点．
（1）求证：BF∥面ACD；
（2）求证：面ADE⊥面ACD．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点M，连接CM、MF，推导出四边形BCMF为平行四边形，从而CM∥BF，由此能证明BF∥面ACD．
（2）作DE中点N，连接CN，推导出CM⊥AD，BF⊥AE，CM⊥AE，由此能证明面ADE⊥面ACD．

解答 证明：（1）取AD的中点M，连接CM、MF．
∵F、M分别为AE、AD中点，∴DE$\underset{∥}{=}$2MF，
又∵DE$\underset{∥}{=}$2BC，∴FM$\underset{∥}{=}$BC，
∴四边形BCMF为平行四边形，∴CM∥BF，
又∵BF?面ACD，CM?面ACD，
∴BF∥面ACD．…（6分）
（2）作DE中点N，连接CN，
∵DE$\underset{∥}{=}$2BC，N为DE中点N，∴DN=BC，
又∵AB、BC、BE两两垂直，且AB=BC=BE，∴AC=CD，
∵M为AD中点，∴CM⊥AD，
又∵F是AE的中点，且AB=BE，∴BF⊥AE，
∵CM∥BF，∴CM⊥AE，
又∵AD∩AE=A，AE、AD?面ADE，∴CM⊥面ADE，
∵CM?面ACD，∴面ADE⊥面ACD．…（14分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．