Question

11．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求$\frac{sin∠CAD}{sin∠D}$的值；
（Ⅱ）求CD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等边三角形的性质及已知可得AC=2CD，进而利用正弦定理即可得解$\frac{sin∠CAD}{sin∠D}$的值为$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）设CD=x，则可求BC=2x，BD=3x，利用余弦定理即可解得x的值，进而得解CD的值．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，
又∵BC=2CD，∴AC=2CD，
∴在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AC}{sin∠D}$，
∴$\frac{sin∠CAD}{sin∠D}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）设CD=x，则BC=2x，
∴BD=3x，
∵△ABD中，AD=$\sqrt{7}$，AB=2x，∠B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos∠B，
即：7=4x²+9x²-2x×3x，解得：x=1，
∴CD=1．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．