Question

15．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{x+y≤a}\\{x≥1}\end{array}$，其中a=$\int_0^3$（x²-1）dx，则实数$\frac{y}{x+1}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据函数的积分公式求出a的值，然后作出不等式组对应的平面区域，根据直线斜率的公式进行求解即可．

解答 解：a=$\int_0^3$（x²-1）dx=（$\frac{1}{3}$x³-x）|${\;}_{0}^{3}$=$\frac{1}{3}×$3³-3=9-3=6，
则不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{x+y≤6}\\{x≥1}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图，
$\frac{y}{x+1}$的几何意义是区域内的点到定点D（-1，0）的斜率，
由图象知AD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{x+y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
此时AD的斜率k=$\frac{4}{2+1}$=$\frac{4}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据积分公式先求出a的值，利用数形结合以及直线的斜率公式进行求解是解决本题的关键．