Question

在空间四边形ABCP中，PA⊥PC，PB⊥BC，AC⊥BC．PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°．

(1)直线PC与AB能否垂直？证明你的结论；

(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)AB与PC不能垂直，证明如下：假设PC⊥AB，作PH⊥平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，∴HC⊥AB，∵PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PB⊥BC，PA⊥PC． 　　∴BH⊥BC，AH⊥AC 　　∵AC⊥BC，∴平行四边形ACBH为矩形． 　　∵HC⊥AB，∴ACBH为正方形． 　　∴HB＝HA 　　∵PH⊥平面ACBH．∴ΔPHB≌ΔPHA． 　　∴∠PBH＝∠PAH，且PB，PA与平面ABC所成角分别为∠PBH，∠PAH．由已知∠PBH＝45°，∠PAH＝30°，与∠PBH＝∠PAH矛盾． 　　∴PC不垂直于AB． 　　(2)由已知有PH＝h，∴∠PBH＝45° 　　∴BH＝PH＝h．∵∠PAH＝30°，∴HA＝h． 　　∴矩形ACBH中，AB＝＝＝2h． 　　作HE⊥AB于E，∴HE＝＝＝h． 　　∵PH⊥平面ACBH，HE⊥AB， 　　由三垂线定理有PE⊥AB，∴PE是点P到AB的距离． 　　在RtΔPHE中，PE＝＝＝h． 　　即点P到AB距离为h． 　　评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法．

提示：

主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力．