Question

1．已知函数f（x）=xe^x-ae^2x（a∈R）恰有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，根据函数恰有两个极值点得到关于a的不等式，求出a的具体范围即可．

解答 解：函数f（x）=xe^x-ae^2x
可得f′（x）=e^x（x+1-2ae^x），要使f（x）恰有2个极值点，
则方程x+1-2ae^x=0有2个不相等的实数根，
令g（x）=x+1-2ae^x，g′（x）=1-2ae^x；
（i）a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在R递增，不合题意，舍，
（ii）a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=ln$\frac{1}{2a}$，
当x＜ln$\frac{1}{2a}$时，g′（x）＞0，g（x）在（-∞，ln$\frac{1}{2a}$）递增，且x→-∞时，g（x）＜0，
x＞ln$\frac{1}{2a}$时，g′（x）＜0，g（x）在（ln$\frac{1}{2a}$，+∞）递减，且x→+∞时，g（x）＜0，
∴g（x）_max=g（ln$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$+1-2a•${e}^{ln\frac{1}{2a}}$=ln$\frac{1}{2a}$＞0，
∴$\frac{1}{2a}$＞1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$；
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．