Question

14．定义函数：F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，以下命题正确的是②③．
①F（a）F（b）=F（a）+F（b）；
②$\frac{F（a）}{F（b）}$≤F（a-b）；
③F（a）+F（b）≥2F（$\frac{a+b}{2}$）
④F（ab）=F（a）F（b）

Answer 1

分析 ①④取特殊值判断即可；②③通过讨论a，b的范围，结合不等式的性质判断即可．

解答 解：①取a=-1，b=1，F（a）F（b）=e^b=e≠F（a+b）=1，①式子不成立．
②$\frac{F（a）}{F（b）}$=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{a-b}，a≥0，b≥0}\\{{e}^{a}，a＞0，b＜0}\\{1，a＜0，b＜0}\end{array}\right.$，F（a-b）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{a-b}，a-b≥0}\\{1，a-b＜0}\end{array}\right.$；
当a≥0，b≥0时，e^a-b≤F（a-b）；
当a＜0，b＜0时，1≤F（a-b）；
当a＞0，b＜0时，e^a≤e^a-b=F（a-b）；
当a＜0，b＞0时，$\frac{1}{{e}^{b}}$≤1=F（a-b），
综上，$\frac{F（a）}{F（b）}$≤F（a-b）；
③F（a）+F（b）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{a}{+e}^{b}，a≥0，b≥0}\\{1{+e}^{a}，a＞0，b＜0}\\{1{+e}^{b}，a＜0，b＞0}\\{2，a＜0，b＜0}\end{array}\right.$≥$\left\{\begin{array}{l}{{2e}^{\frac{a+b}{2}，}a≥0，b≥0}\\{{2e}^{\frac{a}{2}}，a＞0，b＜0}\\{{2e}^{\frac{b}{2}}，a＜0，b＞0}\\{2，a＜0，b＜0}\end{array}\right.$，F（$\frac{a+b}{2}$）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{\frac{a+b}{2}}，a+b≥0}\\{1，a+b＜0}\end{array}\right.$，
当a≥0，b≥0或a＜0，b＜0时，易知F（a）+F（b）≥2F（$\frac{a+b}{2}$）；
当a＞0，b＜0时，2${e}^{\frac{a}{2}}$≥2${e}^{\frac{a+b}{2}}$或2${e}^{\frac{a}{2}}$≥2；当a＜0，b＞0时，2${e}^{\frac{b}{2}}$≥2${e}^{\frac{a+b}{2}}$或2${e}^{\frac{b}{2}}$≥2，
综上F（a）+F（b）≥2F（$\frac{a+b}{2}$）；
④F（3×1）=e³≠F（3）F（1）=e⁴，结论显然不对，
故答案为②③．

点评 本题考查了函数求值问题，考查分段函数以及不等式的性质，是一道中档题．