Question

已知B₂，B₁分别是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的上，下顶点，F是C的右焦点，FB₁=2，F到C的左准线的距离是

7 3

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是C上与B₁，B₂不重合的动点，直线B₁P，B₂P与x轴分别交于点M，N．求证：

OM

•

ON

是定值．

Answer 1

分析：（1）先设椭圆方程的标准方程，如图可得BF1=a=2，c+

a2

c

=

7 3

3

，进而求得a，b和c，进而可得椭圆的方程．
（2）设P（x₀，y₀）进而可得直线p和p的方程，令y=0，分别求得M和N的坐标．代入

OM

•

ON

根据x₀和y₀的关系求得

OM

•

ON

为4，原式得证

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得，BF1=a=2，c+

a2

c

=

7 3

3

，
所以a=2，c=

3

，b=1．
所以所求的椭圆方程为

x2

4

+y2=1．

（2）设P（x₀，y₀）（x₀≠0），直线B1P：

y+1

y0+1

=

x

x0

．
令y=0得x=

x0

y0+1

，即M(

x0

y0+1

，0)（

x0

y0+1

，0）．
直线B2P：

y-1

y0-1

=

x

x0

，令y=0得x=-

x0

y0-1

，
即N(-

x0

y0-1

，0)，∴

OM

•

ON

=-

x 2 0

y 2 0 -1

．
∵

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，
∴1-

y

2 0

=

x 2 0

4

，
∴

OM

•

ON

=-

x 2 0

y 2 0 -1

=4．
即

OM

•

ON

为定值．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和平面向量的知识点．属基础题．