Question

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（1）证明：抛物线在点处的切线与平行；（2）是否存在实数使NANB，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  略  (Ⅱ)   

解析:

法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，直线与抛物线相切，

，．即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．由（Ⅰ）知

．轴，．

又

．，解得．即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得

．由韦达定理得．

，点的坐标为．，，

抛物线在点处的切线的斜率为，．

（Ⅱ）假设存在实数，使．

由（Ⅰ）知，则

，，，解得．即存在，使．