题目内容
某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足x=3-
（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
| k | m+1 |
（1）将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
分析：（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：x=3-
，当m=0时，x=1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；
（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．
| k |
| m+1 |
（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．
解答：解：（1）由题意知，当m=0时，x=1，
∴1=3-k，即k=2，
∴x=3-
；
每件产品的销售价格为1.5×
（万元），
∴利润函数y=x[1.5×
]-（8+16x+m）
=4+8x-m=4+8（3-
）-m
=-[
+（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因为利润函数y=-[
+（m+1）]+29（m≥0），
所以，当m≥0时，
+（m+1）≥2
=8，
∴y≤-8+29=21，当且仅当
=m+1，即m=3（万元）时，ymax=21（万元）．
所以，该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
∴1=3-k，即k=2，
∴x=3-
| 2 |
| m+1 |
每件产品的销售价格为1.5×
| 8+16x |
| x |
∴利润函数y=x[1.5×
| 8+16x |
| x |
=4+8x-m=4+8（3-
| 2 |
| m+1 |
=-[
| 16 |
| m+1 |
（2）因为利润函数y=-[
| 16 |
| m+1 |
所以，当m≥0时，
| 16 |
| m+1 |
| 16 |
∴y≤-8+29=21，当且仅当
| 16 |
| m+1 |
所以，该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
点评：本题考查了商品利润函数模型的应用，也考查了基本不等式a+b≥2
（a＞0，b＞0）的灵活运用，是中档题目．
| ab |
练习册系列答案
相关题目
万件与年促销费用
万元满足
（
为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的
倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
万元表示为年促销费用
万元的函数；
（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）