Question

3．已知F₁、F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右焦点，M为双曲线上一点，且$\overline{M{F}_{1}}$•$\overline{M{F}_{2}}$=0，则点M到x轴的距离为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，可得焦距，设M（m，n）在第一象限，由双曲线的定义和勾股定理，可得|MF₁|•|MF₂|=10，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求距离．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=2，b=$\sqrt{5}$，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3，
则|F₁F₂|=2c=6，
设M（m，n）在第一象限，由双曲线的定义可得
|MF₁|-|MF₂|=2a=4，①
由勾股定理可得|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=36，②
由②-①²，可得，|MF₁|•|MF₂|=10，
由三角形的面积公式，可得|MF₁|•|MF₂|=n|F₁F₂|，
可得n=$\frac{|M{F}_{1}|•|M{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{10}{6}$=$\frac{5}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直角三角形的勾股定理和等积法的运用，以及运算能力，属于中档题．