Question

1．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，某人站在地面观看A，B两点，眼睛C距离地面高度为c米，且a＞b＞c，要使视角∠ACB最大，则人脚离树根的距离应为$\sqrt{（a-c）（b-c）}$．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB，设CD=x，易求出tan∠ACB，即tan（∠ACD-∠BCD）的表达式，进而根据基本不等式，求出tan∠ACB的范围及tan∠ACB取最大值时x的值，进而得到答案．

解答 解：过点C作CD⊥AB，则AD=a-c，BD=b-c，设CD=x．
则tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}=\frac{a-c}{x}$，tanBCD=$\frac{BD}{CD}=\frac{b-c}{x}$，
tan∠ACB=tan（∠ACD-∠BCD）=$\frac{tan∠ACD-tan∠BCD}{1+tan∠ACD•tan∠BCD}$
=$\frac{\frac{a-c}{x}-\frac{b-c}{x}}{1+\frac{a-c}{x}•\frac{b-c}{x}}$=$\frac{a-b}{x+\frac{（a-c）（b-c）}{x}}$≤$\frac{a-b}{2\sqrt{（a-c）（b-c）}}$，
当且仅当x=$\frac{（a-c）（b-c）}{x}$即x=$\sqrt{（a-c）（b-c）}$时，tan∠ACB取得最大值，即∠ACB最大．
故答案为：$\sqrt{（a-c）（b-c）}$．

点评 本题考查的知识点是三角函数的实际应用，两角差的正切公式，及基本不等式，其中构造适当的三角形，将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键．