Question

11．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}+lnx（a∈R）$
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的函数$g（x）=\frac{lnx}{x^2}-f（x）+lnx+2e$有且只有一个零点，求a的值（e为自然对数的底数）

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）把方程化为$\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，求得 h（x）=$\frac{lnx}{x}$的最大值为 h（e）=$\frac{1}{e}$，再求得m（x）=x²-2ex+a 的最小值 m（e）=a-e²，根据 a-e²=$\frac{1}{e}$求出a的值．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
①△=1+4a≤0即a≤-$\frac{1}{4}$时，x²+x-a≥0，
则f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
②①△=1+4a＞0即a＞-$\frac{1}{4}$时，
令f′（x）=0，解得：x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2}$＜0，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，
若-$\frac{1}{4}$＜a≤0，则x₂≤0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
若a＞0，x∈（0，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）时，f′（x）＜0，x∈（$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）递减，在（$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，+∞）递增；
（2）关于x的方程g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-f（x）+lnx+2e，可化为$\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，令h′（x）=0，得x=e，故 h（x）的最大值为 h（e）=$\frac{1}{e}$．  
令m（x）=x²-2ex+a，可得：x=e时，m（x）的最小值 m（e）=a-e² ，
由 a-e²=$\frac{1}{e}$可得 a=e²+$\frac{1}{e}$．

点评 本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数求函数的单调区间、最值问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．