Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长为2$\sqrt{2}$，且椭圆C与圆M：（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$的公共弦长为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程．
（2）经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AD⊥x轴于点D，点E在椭圆C上，且$（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EB}}）•（{\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}}）=0$，求证：B，D，E三点共线..

Answer 1

分析 （1）由题意得$2a=2\sqrt{2}$，由椭圆C与圆M：${（{x-1}）^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$的公共弦长为$\sqrt{2}$，其长度等于圆M的直径，得椭圆C经过点$（{1，±\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），D（x₁，0）．利用点差法求出$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{2（{{y_1}+{y_2}}）}}$，从而求出k_AB•k_AE=-1，进而求出k_BE=k_BD，由此能证明B，D，E三点共线．

解答 解：（1）由题意得$2a=2\sqrt{2}$，则$a=\sqrt{2}$．
由椭圆C与圆M：${（{x-1}）^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$的公共弦长为$\sqrt{2}$，
其长度等于圆M的直径，
可得椭圆C经过点$（{1，±\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
所以$\frac{1}{2}+\frac{{\frac{1}{2}}}{b^2}=1$，解得b=1．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
证明：（2）设A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），D（x₁，0）．
因为点A，E都在椭圆C上，所以$\left\{\begin{array}{l}x_1^2+2y_1^2=2\\ x_2^2+2y_2^2=2\end{array}\right.$，
所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
即$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{2（{{y_1}+{y_2}}）}}$．
又$（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EB}}）•（{\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}}）$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AB}=0$，
所以k_AB•k_AE=-1，
即$\frac{y_1}{x_1}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-1$，
所以$\frac{y_1}{x_1}•\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{2（{{y_1}+{y_2}}）}}=1$
所以$\frac{y_1}{x_1}=\frac{{2（{{y_1}+{y_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$
又${k_{BE}}-{k_{BD}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}-\frac{y_1}{{2{x_1}}}$=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}-\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=0$，
所以k_BE=k_BD，
所以B，D，E三点共线．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三点共线的证明，考查椭圆、点差法、向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．