Question

函数f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=xlnx，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x＞0时，求函数f（x）的极值；
（3）关于x的方程f（x）=m有且只有一个实数解，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用奇函数的性质即可得出；
（2）利用导数研究函数的单调性极值即可得出；
（3）结合图象，利用函数图象的交点、极值即可得出．

解答： 解：（1）设x＜0，则-x＞0，则 f（-x）=-xln（-x），
 得f（x）=xln（-x），
当 x=0时，f（x）=0．
综上：x＞0时f（x）=xlnx；x=0时，f（x）=0；x＜0时，f（x）=xln（-x）．
（2）x＞0时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
∴f′（x）＜0，得 x∈（0，

1

e

） 单调递减；
f′（x）＞0 得x∈（

1

e

，+∞）单调递增．
 综上：函数极小值为f（

1

e

）=-

1

e

．
又∵函数是奇函数，
∴函数极大值为f（-

1

e

）=

1

e

．
（3）由于关于x的方程f（x）=m有且只有一个实数解，
由图象可知：m＞

1

e

或m＜-

1

e

．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、函数图象的交点、方程的根，考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．