Question

如图所示，两射线OA与OB交于O，下列向量若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是

②

．
①2

OA

-

OB

；
②

3

4

OA

+

1

3

OB

；
③

1

2

OA

+

1

3

OB

；
④

3

4

OA

+

1

5

OB

；
⑤

3

4

OA

-

1

5

OB

．

Answer 1

分析：根据题意，分析可得以O为起点的向量，其终点M落在阴影区域内，必有射线OM与线段AB有公共点，进而利用向量加法与数乘运算的性质，得到

OM

=r

ON

=rt

OA

+r（1-t）

OB

；据此依次分析所给的向量：求出每个向量中的r、t，验证其是否符合0≤t≤1与r（1-t）≥0，即可判断该向量的终点是否在阴影内；综合可得答案．

解答：解：设向量的终点为M，若M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，设交点为N，
假设

OM

=r

ON

，（r≥1），
又由N在线段AB上，则存在实数t∈（0，1]使得

ON

=t

OA

+（1-t）

OB

成立，
则

OM

=r

ON

=rt

OA

+r（1-t）

OB

，又由于0≤t≤1，则r（1-t）≥0．
据此分析所给的向量：
①2

OA

-

OB

中，rt=2，r（1-t）=-1＜0，rt+r（1-t）=r=1，满足r≥1但不满足r（1-t）≥0，故①不满足条件．
②

3

4

OA

+

1

3

OB

中，rt=

3

4

，r（1-t）=

1

3

，rt+r（1-t）=r=

13

12

，故②满足条件．
③

1

2

OA

+

1

3

OB

中，rt=

1

2

，r（1-t）=

1

3

，rt+r（1-t）=r=

5

6

，不满足r≥1，故③不满足条件．
④

3

4

OA

+

1

5

OB

中，rt=

3

4

，（1-t）=

1

5

，rt+r（1-t）=r=

19

20

，不满足r≥1，故④不满足条件．
⑤

3

4

OA

-

1

5

OB

中，rt=

3

4

，（1-t）=

1

5

，rt+r（1-t）=r=

11

20

，不满足r≥1，故⑤不满足条件．
综上，只有②满足条件，
故答案为②．

点评：本题考查平面向量基本定理的运用，关键是分析得到以O为起点的向量，终点落在阴影区域内的充分必要条件为射线OM与线段AB有公共点，进而得到

OM

=r

ON

=rt

OA

+r（1-t）

OB

．