Question

方程f（x）=x的实根x₀叫做函数f（x）的不动点，则f(x)=

x

a(x+2)

（x∈R，a≠0）有唯一不动点，数列{a_n}满足a1=1005，an+1•f(

1

an

)=1(n∈N*)，则a₂₀₀₉等于

2009

．

Answer 1

分析：先根据f(x)=

x

a(x+2)

（x∈R，a≠0）有唯一不动点，确定a的值，再确定数列{a_n}是以1005为首项，

1

2

为公差的等差数列，由此可求a₂₀₀₉的值．

解答：解：由题意，∵f(x)=

x

a(x+2)

（x∈R，a≠0）有唯一不动点
∴

x

a(x+2)

=x有唯一解，∴x=0，a=

1

2

∴f(x)=

2x

x+2

∴an+1•f(

1

an

)=an+1•

2

1+2an

=1
∴a_n+1-a_n=

1

2

∵a₁=1005
∴数列{a_n}是以1005为首项，

1

2

为公差的等差数列
∴a_n=1005+（n-1）×

1

2

=

n+2009

2

∴a₂₀₀₉=2009
故答案为：2009

点评：本题主要考查了新定义，考查数列与函数的关系，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．