Question

13．在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2（sint+cost）}\\{y=4（1+sin2t）}\end{array}\right.（t为参数）$
（1）写出直线l和曲线C的普通方程；
（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（-1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2（sint+cost）}\\{y=4（1+sin2t）}\end{array}\right.（t为参数）$，可得x²=4（1+sin2t）=y，x∈$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲线C的方程可得：${t}^{2}+\sqrt{2}$t-2=0，可得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+t）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，
|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得直角坐标方程：x+y-1=0．
曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2（sint+cost）}\\{y=4（1+sin2t）}\end{array}\right.（t为参数）$，x²=4（1+sin2t）=y，x∈$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲线C的方程可得：${t}^{2}+\sqrt{2}$t-2=0，
∴t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-2．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+t）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2+8}$=$\sqrt{10}$，
|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、参数方程及其应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．