Question

5．设△ABC是边长为1的正三角形，点P₁，P₂，P₃四等分线段BC（如图所示）．
（1）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{P_1}}$+$\overrightarrow{A{P_1}}$•$\overrightarrow{A{P_2}}$的值；
（2）Q为线段AP₁上一点，若$\overrightarrow{AQ}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 分别向量的几何意义和向量的数量积的运算计算即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{P_1}}$+$\overrightarrow{A{P_1}}$•$\overrightarrow{A{P_2}}$=$\overrightarrow{A{P_1}}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{P_2}}$）=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{B{P}_{1}}$）（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{B{P}_{2}}$）=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$）（2$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$）=2${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{BC}$²=2-1×1×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}$=$\frac{13}{8}$，
（2）设$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{A{P}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{A{P}_{1}}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$）=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{3}{4}$λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{4}$$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{λ}{4}$=$\frac{1}{12}$，$\frac{3λ}{4}$=m，
解得m=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于中档题．