Question

8．在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x²+y²=4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数$\frac{1}{2}$？如果存在，求出点A，B的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先用圆x²+y²=4上的特殊点C（2，0），D（-2，0），求出满足条件的点A（1，0），B（4，0）；
再证明在圆x²+y²=4上任意一点P（x₀，y₀）到A，B两点的距离之比为常数$\frac{1}{2}$成立即可．

解答 解：假设在x轴正半轴上存在两个定点A（a，0），B（b，0），其中a＞0，b＞0，
使得圆x²+y²=4上任意一点P（x₀，y₀）到A，B两点的距离之比为常数$\frac{1}{2}$，
则|PA|=$\frac{1}{2}$|PB|，
不妨取特殊点C（2，0），D（-2，0）；
有（2-a）²=$\frac{1}{4}$（2-b）²①，
（-2-a）²=$\frac{1}{4}$（-2-b）²②，
解得a=1，b=4；
所以A（1，0），B（4，0）；
现证明在圆x²+y²=4上任意一点P（x₀，y₀）到A，B两点的距离之比为常数$\frac{1}{2}$，
则${{（x}_{0}-1）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[${{（x}_{0}-4）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$]③，
${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4④；
把④代入③，并化简得等式恒成立；
所以存在点A（1，0），B（4，0），满足|PA|=$\frac{1}{2}$|PB|成立．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．