Question

点A、B、C、D在同一球面上，AD⊥平面ABC，AD=AC=5，AB=3，BC=4，则该球的表面积为（　　）

• A、

  25π

  2

• B、

  125 2 π

  3

• C、50π
• D、

  50π

  3

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：画出图形，把三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的体对角线就是球的直径，由此能求出球O的表面积．

解答： 解：由题意画出图形如图，∵三棱锥D-ABC的顶点都在球O的球面上，
AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD=5，且DA⊥平面ABC，
∴三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长为：DC，
∵AD⊥AC，AC=5，
∴DC=5

2

，
∴球的半径为

5 2

2

．
∴球O的表面积S=4π×（

5 2

2

）²=50π．
故选：C．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，球的内接几何体与球的关系，考查空间想象能力，计算能力．