Question

19．若抛物线C：y²=-2x上只有两点到直线l：kx-y-k=0的距离为1，则实数k的取值范围是$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$
或k=0．

Answer 1

分析 求出与直线l：kx-y-k=0的距离为1的直线方程，与抛物线方程联立，利用判别式，即可得出结论．

解答 解：直线l：kx-y-k=0恒过点（1，0）．
设与直线l：kx-y-k=0的距离为1的直线方程为kx-y+c=0，则$\frac{|c+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴c=-k±$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴所求直线方程为kx-y-k±$\sqrt{{k}^{2}+1}$=0，
k≠0，与抛物线C：y²=-2x联立可得y²+$\frac{2}{k}$y+2±2$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=0，
∵抛物线C：y²=-2x上只有两点到直线l：kx-y-k=0的距离为1，
∴△=$\frac{4}{{k}^{2}}-8±8\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$＞0，
∴$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$
k=0时，显然成立．
∴$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$或k=0
故答案为：$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$或k=0．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查两条平行线间距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．