Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1坐标原点为点O，有顶点坐标为（2，0），离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过椭圆右焦点倾斜角为30°的直线交椭圆与点A，B两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）求三角形OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知焦点在x轴，a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，即可求得b²，求得椭圆方程；
（2）根据题意求得直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁•x₂，根据弦长公式求得丨AB丨，及点到直线的距离公式求得原点O到直线的距离，根据三角形的面积公式求得三角形OAB的面积．

解答 解：（1）由题意可知焦点在x轴，a=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，解得b²=1，
∴椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
（2）由题意可知右焦点（$\sqrt{3}$，0），则直线方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\sqrt{3}$），即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入椭圆方程整理得：7x²-8$\sqrt{3}$x=0，
由根与系数的关系x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，x₁•x₂=0，
由弦长公式丨AB丨=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{7}）^{2}}$=$\frac{16}{7}$，
由原点O到直线的距离为：d=$\frac{丨1丨}{\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{16}{7}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
∴△OAB的面积S=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查韦达定理、弦长公式及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．