Question

6．已知等差数列{a_n}的首项为1，等比数列{b_n}的前两项为a₂，a₅且公比为3，记数列{a_n}的前n项和为A_n，数列{b_n}的前n项和为B_n．
（I）求A_n，B_n；
（Ⅱ）如果$\frac{{a}_{n}}{{A}_{n}}$≥$\frac{{b}_{n}}{{B}_{n}}$，试求所有正整数n的值．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）由$\frac{{a}_{n}}{{A}_{n}}$≥$\frac{{b}_{n}}{{B}_{n}}$，可得：$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$≥$\frac{{3}^{n}}{\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）}$，化为：3^n-1（6n-3-2n²）≥2n-1．由6n-3-2n²≥0，解得n的值即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=1+（n-1）d，
∴a₂=1+d，a₅=1+4d．
∵等比数列{b_n}的前两项为a₂，a₅且公比为3，
∴$3=\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1+4d}{1+d}$，解得d=2．
∴a_n=2n-1，
b_n=${a}_{2}×{3}^{n-1}$=3ⁿ．
∴数列{a_n}的前n项和为A_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
数列{b_n}的前n项和为B_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
（II）由$\frac{{a}_{n}}{{A}_{n}}$≥$\frac{{b}_{n}}{{B}_{n}}$，可得：$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$≥$\frac{{3}^{n}}{\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）}$，
化为：3^n-1（6n-3-2n²）≥2n-1．
由6n-3-2n²≥0，解得：$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$≤n≤$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
可得：当n=1时，1≥1，成立；
当n=2时，3≥3，成立；
当n≥3时，不成立．
∴使得$\frac{{a}_{n}}{{A}_{n}}$≥$\frac{{b}_{n}}{{B}_{n}}$成立的所有正整数n的值为1，2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．