题目内容
1．已知tanα=-2，求下列各式的值：（1）$\frac{2sin（α+π）+cos（2π-α）}{cos（α-\frac{π}{2}）-sin（\frac{3π}{2}+α）}$；
（2）sin2α+sinαcosα+2．
分析 （1）由诱导公式和弦化切可得原式=$\frac{-2sinα+cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{-2tanα+1}{tanα+1}$，代值计算可得；
（2）变形并弦化切可得原式=$\frac{3si{n}^{2}α+sinαcosα+2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{3ta{n}^{2}α+tanα+2}{ta{n}^{2}α+1}$，代值计算可得．
解答 解：（1）∵tanα=-2，∴$\frac{2sin（α+π）+cos（2π-α）}{cos（α-\frac{π}{2}）-sin（\frac{3π}{2}+α）}$
=$\frac{-2sinα+cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{-2tanα+1}{tanα+1}$=$\frac{-2×（-2）+1}{-2+1}$=-5；
（2）sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2sin2α+2cos2α
=3sin2α+sinαcosα+2cos2α=$\frac{3si{n}^{2}α+sinαcosα+2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{3ta{n}^{2}α+tanα+2}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{3×（-2）^{2}-2+2}{（-2）^{2}+1}$=$\frac{12}{5}$
点评 本题考查同角三角函数基本关系，弦化切是解决问题的关键，属中档题．
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f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是定义在R上的奇函数，如图是该函数在一个周期内的图象．其中P为图象与x轴的交点，Q为最低点，R为最高点，$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{QR}$=0，S△PQR=$\frac{{π}^{2}}{2}$，则方程Asin（ωx+φ）=$\frac{π}{2}$|lgx|的根的个数为（ ）