Question

5．给出下列四个命题：
①已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
②命题“若x≥1，则$\frac{1}{x}$≤1”的否命题是假命题；
③已知x∈（0，π），则y=sinx+$\frac{2}{sinx}$的最小值为2$\sqrt{2}$；
④设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个非零向量，则“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”是“$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为钝角”的充分不必要条件．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据及充分条件和必要条件的定义进行判断①④即可，
根据命题的否命题和命题的真假判断②，
根据基本不等式成立的条件判断③

解答 解：对于①，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故①错误，
对于②命题“若x≥1，则$\frac{1}{x}$≤1”的否命题为若x＜1，则$\frac{1}{x}$＞1，当x＜0时，则不成立，故否命题是假命题，故②正确，
对于③已知x∈（0，π），则y=sinx+$\frac{2}{sinx}$不能应用基本不等式，因为等号成立的条件为sinx=$\sqrt{2}$，显然不成立，故③错误，
对于④若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，若夹角为π时，满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，但不是钝角，故为必要不充分条件，故④错误，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握充分条件和必要条件和复合命题之间的关系