Question

20．设函数f（x）=|2x-a|（a＞0），g（x）=x+2-|2x+1|．
（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜g（x）的解集为∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，不等式f（x）≥1为|2x-3|≥1，即可求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）＜g（x）的解集为∅，不等式f（x）≥g（x）的解集为R，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，不等式f（x）≥1为|2x-3|≥1，∴2x-3≤-1或2x-3≥1，
∴x≤1或x≥2，
∴不等式的解集为{x|x≤1或x≥2}；
（Ⅱ）g（x）=x+2-|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，x≥-\frac{1}{2}}\\{3x+3，x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，最大值为$\frac{3}{2}$，
∵不等式f（x）＜g（x）的解集为∅，
∴不等式f（x）≥g（x）的解集为R，
∴2×（-$\frac{1}{2}$）-a$≥\frac{3}{2}$且$\frac{a}{2}$≤-1，或-2×（-$\frac{1}{2}$）+a$≥\frac{3}{2}$且$\frac{a}{2}$≥1，
∴a≤-$\frac{5}{2}$或a≥$\frac{5}{2}$．
∵a＞0，∴a≥$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查不等式的解法，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．