Question

12．已知$f（x）=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1（a∈R）$．
（1）当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x²-2bx+4．当$a=\frac{1}{4}$时，若对任意$x∈[\frac{1}{e}，e]$，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）=g（x₂），求实数b取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；
（2）利用导数求出f（x）的值域、利用二次函数知识或分离常数法求出g（x）在闭区间[1，2]上的值域，再根据集合之间的关系，解不等式求参数．

解答 解：（1）$f（x）=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1（x＞0）$，$f'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{a-1}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}（x＞0）$，
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0），
由h'（x）=0，即ax2-x+1-a，解得x₁=1，${x_2}=\frac{1}{a}-1$．
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}$-1＞1＞0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，$\frac{1}{a}$-1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（$\frac{1}{a}$-1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
综上所述：当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的增区间为（1，$\frac{1}{a}$-1），减区间为（0，1）和（$\frac{1}{a}$-1，+∞）．
（2）当a=$\frac{1}{4}$时，f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）上是减函数，在（1，e）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
∴当x∈[$\frac{1}{e}$，e]，f（x₁）的值域为B=[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3e}{4}$-$\frac{1}{4e}$-2]
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的值域为A，
∵f（x₁）=g（x₂），
∴B⊆A（*），
当b＜1时，g（x）_min=g（1）=5-2b≥0与（*）矛盾；
当b∈[1，2]时，g（x）_min=g（b）=4-b²≥0也与（*）矛盾；
当b＞2时，A=[8-4b，5-2b]，
∴8-4b≤-$\frac{1}{2}$，5-2b≥$\frac{3e}{4}$-$\frac{1}{4e}$-2，
∴$\frac{17}{8}$≤b≤$\frac{1}{2}$（7-$\frac{3e}{4}$+$\frac{1}{4e}$），
故实数b取值范围[$\frac{17}{8}$，$\frac{1}{2}$（7-$\frac{3e}{4}$+$\frac{1}{4e}$）]

点评 本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．