题目内容

函数 $数学公式$ （x＞0）．
（1）求f（x）的单调减区间并证明；
（2）是否存在正实数m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域为[m，n]时值域为[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）f（x）的单调减区间为（0，1]（2分）
任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂（3分）
则 $\text{[math]}$ （4分）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （6分）
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，1]上为减函数（7分）

（2）①若m，n∈（0，1]，则f（m）＞f（n）
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
两式相减，得 $\text{[math]}$ 不可能成立（9分）
②若m∈（0，1]，n∈[1，+∞），则f（x）的最小值为0，不合题意（10分）
③若m，n∈[1，+∞），则f（m）＜f（n）
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ ；∴m，n为 $\text{[math]}$ 的不等实根
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
综上，存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 符合题意．（12分）
分析：（1）按证明一个函数在某个区间上的单调性的基本步骤取点，作差，变形，判断即可．
（2）有（1）知f（x）在（0，1]减，在[1，+∞）上增，所以对[m，n]分三种情况①m，n∈（0，1]，②m∈（0，1]，n∈[1，+∞），③m，n∈[1，+∞），来讨论即可．
点评：本题综合考查了函数单调性的判断和证明以及对函数单调性的应用，是一道不可多得的好题．